3. Rocket Nozzle Theory

우주발사체에 사용되는 로켓 엔진은, 연료와 산화제를 연소시켜 얻은 고온 고압의 가스를 한쪽 방향으로 분출시켜서 추력을 얻는다. 빵빵한 풍선의 입구를 손으로 잡고 있다가 놓는 순간, 풍선이 이리저리 날아가는 것과 같은 원리이다.

그러나 되는 대로 날라갈 뿐인 풍선과 달리 로켓 엔진은 고온고압의 가스를 내가 원하는 방향으로 원하는 양 만큼 분출시켜서, 원하는 추력을 얻어내는 장치이다. 이 때, 같은 양의 연료를 사용하여 최대의 힘을 얻는 것이 효율적인 로켓 엔진 설계의 목적이다. 이를 위한 로켓의 기본적인 구조는 아래와 같다.

연료 산화제를 연소실에서 연소시키고, 생성된 배기가스를 노즐을 통해 아래 방향으로 뿜어냄으로써 추력을 얻는다. 로켓의 추력에는 크게 고속의 배기가스 분출에 의한 운동량 보존 항과, 노즐 출구 압력에 의한 항으로 구성된다. 배기가스의 의한 운동량은, 노즐을 떠나는 배기가스의 속도에 배기가스의 질량을 곱하여 구할 수 있다.

로켓 노즐은 일반적으로 원형이므로, 배기가수 속도 성분 중 축에 대해 수직인 방향 성분들은 서로 상쇄되어 사라진다. 따라서 이를 무시하고 수평 방향 성분만을 볼 때, 연속 방정식을 통해 아래의 식을 얻는다.

$ \overrightarrow{F}=\frac{dm\overrightarrow{v}}{dt}=\int_{C}^{}\rho\overrightarrow{v}_n(\overrightarrow{v}_n\cdot\overrightarrow{n})dA=\dot{m}V_e $

여기서 $ \dot{m} $ 은 단위시간당 출구를 통해 빠져나온 배기가스의 질량유량,  $ V_e $ 는 노즐 출구에서의 배기가스의 속도이다.

또한 압력에 의한 추력은 노즐 출구의 압력을 $ P_e $, 로켓 주변의 대기압을 $ P_{atm} $ 이라 하면 아래의 식을 통해 구할 수 있다.

$ F = PA = A_e(P_e-P_{atm}) $

따라서 로켓의 총 추력은 아래와 같이 쓸 수 있다.

$ F = \dot m V_e+A_e(P_e-P_{atm}) $

즉 짧은 시간에 연료를 많이 태울수록, 혹은 배기가스의 속도가 빠를수록 추력이 크다는 것을 유추할 수 있다.

위 식의 두 번째 항에 의해, 노즐 출구의 압력이 클수록 추력이 클 것이라고 생각할 수 있으나 이는 사실과 다르다. 노즐 출구의 압력이 크다는 것은, 그만큼 배기가스의 압력을 운동에너지로 변환할 수 있는 잠재력이 크다는 것으로, 노즐 출구 압력과 로켓 주위의 대기압을 일치시켜 최대의 배기가스 속도를 이끌어내는 것이 최고의 효율을 가진다.

2장에서 알아본 치올코프스키 방정식을 다시 보자.

$ \triangle V=v_e ln\frac{m_i}{m_f} $

다른 조건이 똑같을 때, 노즐 출구 배기가스 속도 $v_e$ 가 클수록 dV 가 증가한다. 그러므로 로켓은 배기가스 출구속도를 최대화하는 것이 최고의 효율을 가진다.

띠리사 그 어떤 형태의 로켓이든 배기가스의 가속을 위한 노즐을 가진다. 노즐은 고온 고압의 연소 가스를 한쪽 방향으로 초음속으로 가속시키는 장치이며, 우리가 가장 쉽게 만나볼 수 있는 노즐은 바로 고무호스이다.

우리는 고무호스의 출구를 손가락으로 눌러 면적을 줄이면 유체의 속도가 증가함을 경험적으로 알고 있다. 그러나 로켓엔진이 작동하는 초음속의 영역은 이와 사뭇 다른 거동을 가진다.

초음속 유동을 알아보기 전에, 음속이 무엇인지에 대해 알 필요가 있다. 일반저으로 공기에서의 음속은 340 m/s 로 알려져 있지만, 이는 공기의 상온에서의 소리의 속도일 뿐인다. 좀 더 일반적인 음속의 유도 과정은 아래와 같다.

위와 같은 단열 관을 따라서 파동이 진행한다고 하자. 소리는 파동이므로, 음속은 파동의 속도로 볼 수 있다. 위 그림에서 $c$ 가 파동의 속도, 즉 음속이다. 위 상황에 대해 질량 보존식을 세우면,

$ \rho Ac=(\rho+d\rho)c(A+dA) $

양변을 미분하고 고차항을 무시하면,

$ cd\rho=\rho dV $

질량과 마찬가지로 에너지 또한 보존되므로 에너지 보존식을 세우면,

$ h+\frac{c^2}{2}=h+dh+\frac{(c-dV)^2}{2} $

위와 마찬가지로 미분하여 고차항을 무시하면,

$ dh=cdV$

또한 단열 등엔트로피 과정이므로, 맥스웰 관계식에 의해

$ Tds=dh-vdP=0,   dh=vdP=\frac{dP}{\rho}$

위 3개의 식을 연립하여, 음속 $c$ 에 대하여 정리하면 아래의 식을 얻을 수 있다.

$ c^2=\frac{dP}{d\rho} $

여기에, 맥스웰 관계식과 이상 기체 상태 방정식을 적용하면,

$ c^2=\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{s}=k\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{T}=k\left(\frac{\partial (\rho RT)}{\partial \rho}\right)_{s}=kRT $

따라서, 유체에서의 음속의 일반식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

$ c=\sqrt{kRT} $

여기서 $k$ 는 유체의 비열비, $R$ 은 기체상수, $T$ 는 절대온도를 의미한다. 상온 15도의 공기($k=1.4, R=287$)에서의 음속은 아래와 같이 계산된다.

$ c=\sqrt{1.4\times 287 kJ/kg K \times 288 K}=340.174 m/s $

이 값은 우리가 익히 알고 있는 값과 같다. 그러나 이제 상온이 아닌 항공기가 날아다니는 극저온, 혹은 공기가 아닌 다른 유체에서의 음속을 구할 수 있다. 공기가 아닌 유체에서는 비열비 k와 기체 상수 R이 다르므로 음속이 다르게 나타나며, 그 예로 상온에서 헬륨의 음속은 약 1019 m/s 로 나타난다. 헬륨 풍선으로 헬륨을 들이마시면 목소리가 이상하게 나오는 이유가 음속이 다르기 때문.

 

 

위에서 구한 음속으로부터, 로켓 노즐 안에서의 초음속 유동을 아래 그림과 같이 고려할 수 있다.

관을 지나는 유체의 질량은 보존되므로 단위시간당 질량 유동은 아래와 같다.

$ \dot{m}=\rho AV=(\rho+d\rho)(A+dA)(V+dV) $

고차항을 무시하고 양변을 정리하면,

$ \frac{dV}{V}+\frac{dA}{A}+\frac{d\rho}{\rho}=0 $

또한 유체의 흐름에서 에너지는 보존되므로,

$ h + \frac{V^2}{2}=const. $

위 식을 미분하면,

$ dh+VdV=0 $

위 과정이 단열 등엔트로피 과정이라고 한다면, 아래의 식이 성립한다.

$ Tds=dh-vdP=0,  dh=vdP=\frac{dP}{\rho} $

위 식을 대입하여 정리하면, 아래의 식을 얻을 수 있다.

$ \frac{dA}{A}=-\frac{d\rho}{\rho}-\frac{dV}{V}=-\frac{dP}{\rho}\frac{d\rho}{dP}+\frac{dP}{dV^2}=\frac{dP}{\rho}\left(\frac{1}{V^2}-\frac{d\rho}{dP}\right) $

그런데, 위에서 구한 음속을 다시 보자.

$ c^2=\frac{dP}{d\rho} $

이를 위 식에 대입하여 정리하면,

$ \frac{dA}{A}=\frac{dP}{\rho V^2}\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right) $

우변 맨 오른쪽의 항을 잘 보면, 유체의 속도를 음속으로 나눈 값이라는 것을 알 수 있다. 이를 마하수 $ Ma $ 로 변환하고,

$ \rho V=-\frac{dP}{dV} $

를 대입하면

$ \frac{dA}{A}=-\frac{dV}{V}\left(1-Ma^2\right) $

위 식을 자세히 살펴보자.

속도와 단면적은 반드시 양수일 수밖에 없다. 따라서 유체가 아음속일 때(Ma < 1) 노즐의 단면적이 감소할수록(dA < 0), 유체의 속도는 증가한다(dV > 0). 이는 우리가 경험적으로 알고 있는 사실과 같다.

하지만 유체의 속도가 초음속일 때(Ma > 1) 노즐의 단면적이 증가할수록(dA > 0) 유체의 속도가 증가한다. 우리가 경험적으로 알고 있는 점과 반대로 작용한다는 점이 초음속 유동에서의 특이사항이다.

따라서 로켓엔진의 노즐은 배기가스의 속도를 초음속 이상으로 가속시키기 위해서, 처음에는 유체의 속도가 음속에 다다를 때까지 점점 노즐의 단면적을 줄이다가, 음속에 다다른 이후부는 다시 노즐의 단면적을 늘려 초음속으로 가속시킨다. 이러한 형태의 수축-팽창 노즐을 드 라발 노즐(De Laval Nozzle) 이라고 부르며, 현재 실용화된 모든 화학식 로켓 엔진은 이 노즐을 사용되고 있다.

압력 또한 이와 유사하며, 아음속에서는 노즐 단면적이 감소할수록, 초음속에서는 노즐 단면적이 증가할수록 압력이 감소한다. 최종적으로 노즐 출구에서의 압력이 주변 대기압과 같아질 때까지 노즐 팽창부가 이어지도록 하여, 압력에 의한 에너지를 모두 속도 에너지로 바꿔 최대의 효율을 내는 것이 로켓 엔진 노즐 설계의 핵심이다.

드 라발 노즐을 지나는 유체의 속도($V$), 마하수($Ma$), 온도($T$), 밀도($\rho$), 노즐 단면적($A$) 를 나타낸 그래프. 점선이 노즐의 단면도라고 본다면, 약 800 kPa 근방의 압력에서 $ Ma=1 $ 을 지날 때를 기점으로 노즐이 축소에서 팽창으로 형태가 바뀌는 모습을 볼 수 있다.

만약 노즐 출구 압력과 로켓 주위 대기압이 다르다면 어떻게 되는가?

(a) 노즐 출구 압력이 대기압보다 작다면, 노즐이 과팽창되어 배기가스가 끝단에 다다르기 전에 대기압에 의해 노즐 벽면에서 떨어져 분리되는 현상이 나타나며, 이는 노즐 끝단에서 경사충격파를 발생시키고 큰 진동을 유발한다.

(b) 노즐 출구 압력과 대기압이 정확히 일치한다면 이 노즐은 최적화된 상태이며, 이 때는 충격파가 발생하지 않는다.

(c) 노즐 출구 압력이 대기압보다 크다면, 노즐이 부족 팽창 되어 연소가스가 노즐을 벗어난 뒤에도 계속 팽창하게 된다. 따라서 밖에서 볼때는 화염이 양 옆으로 퍼지게 된다.

위 그림에서 (b) 의 경우일 때 노즐이 최적화되었다고 볼 수 있으며 (a) 의 경우엔 다소 추력과 효율에서 손해를 보게 된다. (c) 의 경우에는 비록 (b) 에 비해 추력과 비추력은 크게 나타나지만, 노즐을 좀 더 확장시킨다면 더욱 큰 추력과 비추력을 발생시킬 수 있는 상태이므로 최적화된 상태는 아니라고 볼 수 있다. 

발사 과정 중 고도에 따라 대기압이 급격하게 변하는 우주발사체의 발사 과정에서 위와 같은 배기가스의 변화를 관찰할 수 있다.

아폴로 11호를 태운 Saturn V 로켓이 발사되는 모습. 이 때는 (a) 혹은 (b) 의 상태로 볼 수 있으며, 화염이 일직선으로 분출된다.

Saturn V 로켓이 높이 올라가 대기압이 낮아졌을 때의 화염 분출을 찍은 사진. (c) 와 유사하게 화염이 양옆으로 퍼져나가는 것이 보인다.

만약 로켓엔진이 1단에 사용되어 주로 작동하는 구간이 저고도라면, 노즐 출구 압력이 지표 대기압(101 kPa)이 될 때까지 확산시키는 것이 최대 효율을 가진다. 그러나 만약 로켓엔진이 2단, 혹은 3단에서 사용되는 엔진이라서 고고도, 혹은 우주에서 사용된다면 주위 대기압이 매우 낮으므로 노즐 출구 압력 또한 이에 맞춰 매우 낮도록 확신시켜야만 최고 효율을 가진다. 그러나 노즐이 무한정 커질 수는 없는 노릇이므로, 우주에서 사용되는 엔진은 제한된 부피 내에서 가능한 큰 노즐 출구 면적을 가지도록 설계된다.

그 대표적인 예시가 KSLV-II 누리호의 1단과 2단의 엔진이다. 1단과 2단은 노즐부를 제외한 부분은 거의 동일한 엔진이다. 하지만 1단이 작동하는 저고도는 대기압이 크기에 노즐이 많이 팽창하지 않고 출구압력이 대기압과 비슷하도록 맞춰져 있다.

하지만 2단은 충분히 높은 고도에서 사용하기에 같은 엔진이지만 노즐 확산부를 크게 늘렸고, 노즐 출구 압력 또한 이에 맞춰 내려가며 고고도, 진공에서 최적화된 성능을 가진다.

이처럼 엔진의 각 단은 사용 환경에 맞춰 로켓엔진 설계가 최적화 되어 있으며, 그럼에도 불구하고 1단과 같은 경우 급격한 고도와 대기압의 변화로 성능 차이가 크게 나타난다. 따라서 로켓 동역학 시뮬레이션 및 엔진 모델링에 이를 고려하여야 한다. 이에 대해서 상세한 설명을 4장에서 이어가도록 하겠다.