2. Tsiolkovsky's rocket equation

비행기는 항속거리, 순항속도 등을 통해 비행성능을 판별할 수 있다. 자동차는 연비, 최대 주행 거리 등을 통해 주행성능을 판별할 수 있다. 그렇다면 로켓은 어떤 변수를 통해 성능을 판별하는가?

정답은 "속도 변화량" 이다. 로켓이 해당 단을 소모하여 총 얼마의 m/s 의 속도 변화를 달성하였는지가 로켓의 성능을 판가름하는 주된 변수이다. 이를 delta V(델타브이), 혹은 dV(디브이) 라고 부른다.

왜 하필 속도인가? 그 이유는 우주공간에서 궤도를 생성하고 우주를 여행하는 데에 있어 가장 핵심이 되는 요소는 천체의 중력장 내에서의 역학적 에너지이며 로켓이 에너지를 변경할 수 있는 요소는 운동에너지, 즉 속도이기 때문이다.

$ E_K=\frac{1}{2}mv^2 $

퍼텐셜에너지는 중력장 내에서 위치에 따라 주어지는 값이며 우리가 임의로 변경할 수 없다. 천체의 질량을 우리가 마음대로 바꿀 수 있는 게 아니니까.

$ E_P = -\frac{GM_Em_{sc}}{r}  $

대신 우리가 로켓 엔진을 사용해 우주선의 속도를 조절할 수는 있다. 따라서 속도 변화량을 바탕으로 로켓의 성능을 판가름하고, 더 나아가 우주공간의 어디까지 도달할 수 있는지를 계산할 수 있다. 그 반대로, 우주의 특정 행성에 도달하고자 한다면 이를 위해 요구되는 것은 바로 속도 변화량이다.

 

 

지구에서 목표 행성까지 얼마의 dV 를 소모해야 하는지를 계산한 결과이다.

예를 들어, 아폴로 11호와 같이 달에 착륙 후 지구로 귀환한다고 하자. 지표면에서 지구 저궤도까지는 9400 m/s의 dV를 필요로 하며, 지구 저궤도에서 달 착륙까지 총 3260 + 680 + 1730 = 5670 m/s의 dV가 필요하다. 달 착륙 이후 다시 지구로 돌아가기 위해서는 1730 + 680 + 3260 + 9400 m/s 의 dV 가 필요하지만, 지구 대기에 의한 감속을 이용하면 3260 + 9400 m/s는 아낄 수 있으므로 1730 + 680 = 2410 m/s면 충분하다.

이를 전부 더하면 9400 + 5670 + 2410 = 17480m/s 가 아폴로 11호의 달 왕복에 요구되는 총 dV 인 것이다.

이와 같이 주어진 임무에 대해 요구되는 dV를 추정하는 것이 가능하다. 그렇다면 로켓 설계자는, 해당 dV의 성능을 가지는 로켓을 설계하는 것이 과제가 될 것이다. 이 때, 로켓의 dV를 쉽게 계산하는 방정식이 치올코프스키 방정식(Tsiolkovsky's equation)이다.

$ \triangle V=I_{sp}g_0ln\frac{m_i}{m_f} $ 

여기서 $ I_{sp} $ 는 로켓의 비추력을, $ g_0 $ 는 지표면의 중력가속도($ =9.8m/s^2$)을 의미하며, $m_i$ 와 $m_f$ 는 각각 로켓의 엔진 연소 전 질량, 연소 종료 후 질량을 의미한다.

비추력은 간단히 말해서 로켓엔진의 효율을 나타내는 지표이며, 대기압에 대한 함수로 나타난다. 로켓 엔진이 우주 공간에서만 사용된다고 가정하면 비추력은 상수값이라고 볼 수 있다. 이는 5장에서 후술.

먼저 로켓 엔진의 기본적인 원리부터 보자.

로켓 엔진은 빠른 속도로 배기가스를 뒤로 내뿜어서 그 반작용으로 힘을 얻는다. 이를 도식화하면 아래 그림과 같다.

로켓과 배기가스 전체를 포함하는 계를 생각하면, 이 계는 닫힌계이므로 힘은 0이고 총 운동량은 변하지 않는다. 이를 뉴턴 제 2법칙을 이용해 기술하면 아래와 같다. 

$ \overrightarrow{F}=\frac{d(m\overrightarrow{v})}{dt}=\frac{dm}{dt}\overrightarrow{v}+m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=0 $

로켓은 막대한 양의 연료를 소모하며 앞으로 나아가므로, 질량 변화를 반드시 고려해야 한다. 로켓엔진의 연소 전의 운동량은 아래와 같다.

$ p_i = (m+\triangle m)V $

또한 연소 후의 운동량은 아래와 같다.

$ p_f = m(V+\triangle V) - (\triangle m)V_e $

배기가스의 속도 $ V_e $ 는, 이미 $ V $ 의 속도로 운동 중인 로켓에 대해 $ v_e $ 의 속도로 분사되었다고 한다면 $ V_e $ 를 아래와 같이 쓸 수 있다.

$ V_e=V-v_e $

이를 이용해 $ \triangle p=p_f - p_i $ 를 아래와 같이 쓸 수 있다.

$ p_f-p_i=m(V+\triangle V) - (\triangle m)(V-v_e)-(m+\triangle m)V=m\triangle V-v_e\triangle m $

또한, $ \triangle m $ 은 로켓의 입장에서 볼때 질량의 감소이므로 $ -dm $ 으로 쓸 수 있다. 그런데 위에서 설명한 바와 같이, 총 운동량은 연소 전과 후 모두 동일해야 한다.  위 식의 미소 변화량을 미분형으로 나타내면

$ -m dV=v_edm $

$ v_e $ 는 로켓엔진의 배기가스의 속도이다. 이는 엔진의 성능이므로, 상수라고 가정한다면 위 식을 아래와 같은 적분형태로 쓸 수 있다.

$ -\int_{V}^{V+\triangle V}dV=v_e\int_{m_i}^{m_f}\frac{1}{m}dm $

위 식을 $ \triangle V $ 에 대해 정리하면 최종적으로 치올코프스키 방정식을 얻는다.

$ \triangle V=v_e ln\frac{m_i}{m_f} $

위의 치올코프스키 방정식은 $I_{sp}g_0$ 인데, 이 식에서는 $v_e$ 가 들어간다. 사실 이 둘은 같은 값이다

치올코프스키 방정식이 의미하는 바는, 엔진이 주어질 때($v_e$ 가 주어질 때) 로켓의 총 dV 는 로켓의 연소 초기 질량과 연소 종료 질량의 비율의 로그함수로 계산된다는 점이다.

 

로그함수는 입력값이 크면 클수록 출력값의 성장 폭은 낮아진다. 여기서 한 가지 문제가 발생하는데, 구조비는 무한정 늘리기는 매우 어려운데 반해, 구조비를 계속 늘린다고 dV 가 그에 맞춰서 같이 늘어나지는 않는다.

 

그래서 사람들은 새로운 방법을 생각해냈다. 적당히 dV 를 챙길만한 구조비로 만들고, 여기에 비슷한 구조비를 가지는 로켓을 한 단 더 쌓아 올리자고.

위 그림은 1단의 구조비를 5로 하고, 그 위에 2단을 새로 올린 형태이다. 위 그림을 통해 1단보다 다단 형태의 로켓이 같은 중량에서 더 많은 dV를 가짐을 알 수 있다.

 

맨 위의 그림으로부터, 지구 저궤도까지 필요한 dV 는 약 9500임을 알 수 있다. 따라서 모든 우주발사체는 최소 9500 m/s 의 dV를 가져야 하는데, 1단만으로 이 정도의 dV 를 가지려면 구조비가 30에 가까운 값을 가져야 한다. 이는 사실상 불가능한 수준이며, 그래서 현존하는 모든 우주발사체는 최소 2단 이상의 단 수를 가지도록 설계된다.